Escuela de Matemática
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Recent Submissions
- ItemIntegral Espectral del Operador de Hamilton de la Ecuación de Schrödinger y Aplicaciones en Mecánica Cuántica.(2026-02-05)En este trabajo de investigación, se presenta la construcción de la integral espectral del operador de Hamilton asociado a la ecuación de Schrödinger, con énfasis en los casos del Hamiltoniano libre, del oscilador armónico y del átomo de hidrógeno. Se estudia la naturaleza autoadjunta del Hamiltoniano desde la perspectiva del análisis funcional, lo que permite caracterizar y clasificar su espectro, así como establecer su descomposición en términos de medidas espectrales. A partir de esta representación integral, se introduce la noción de funciones de operadores y su aplicación a problemas de la mecánica cuántica. Entre las aplicaciones consideradas, destacan el operador de evolución y la densidad de estados, elementos esenciales para la descripción matemática de sistemas cuánticos. El objetivo general es construir la integral espectral del Operador de Hamilton de la Ecuación de Schrödinger, para los casos del Hamiltoniano libre, del oscilador armónico y del átomo de hidrógeno, y analizar sus aplicaciones en mecánica cuántica.
- ItemObtención de los Polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como Vectores Propios de un Operador Diferencial en el Espacio L2 de Hilbert(2025-02)El presente trabajo se centra en el estudio de los polinomios ortogonales de Legendre, Laguerre y Her mite, obtenidos como vectores propios de un operador diferencial en el Espacio L2 de Hilbert. El objetivo principal de esta investigación es probar las propiedades generales y la funcionalidad de estos polinomios en la solución de ecuaciones diferenciales asociadas a problemas singulares de Sturm-Liouville. Además, se examina la linealidad y simetría de los operadores diferenciales que actúan sobre los espacios de Hilbert generados por estos polinomios. El capítulo uno, establece las bases de la investigación a través de una introducción detallada que incluye los ante cedentes, el planteamiento del problema, la justi cación y los objetivos del estudio. Se resalta la relevancia histórica y matemática de los polinomios ortogonales, con un enfoque en las familias de Legendre, Laguerre y Hermite, y su conexión con problemas diferenciales en el espacio L2 de Hilbert. Este capítulo también plantea la necesidad de una caracterización teórica más rigurosa que vincule estas funciones con operadores diferenciales, enmarcando los objetivos generales y especí cos de la investigación en un contexto académico y aplicado. En el segundo capítulo, se deducen las propiedades generales de los polinomios ortogonales, haciendo uso del proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt y la existencia de una función de peso que garantiza la unicidad y la norma cuadrática mínima de dichos polinomios. Estas propiedades son esenciales para comprender su compor tamiento en diferentes contextos matemáticos. En el tercer capítulo, se analizan las propiedades especí cas de los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite. Estos polinomios son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden, lo que los convierte en herramientas cruciales para resolver problemas singulares de Sturm-Liouville. Asimismo, se examina su obtención mediante la fórmula de Rodrigues, lo que permite una mejor comprensión de su construcción y aplicaciones. En el capítulo cuatro, se analiza los fundamentos teóricos de los espacios de Hilbert y su relación con la teoría de Sturm-Liouville. Incluye una de nición formal de los espacios L2, destacando sus propiedades fundamentales, como la completitud y la ortogonalidad. Además, se exploran las condiciones de contorno y el teorema de Sturm-Liouville, mostrando cómo estas herramientas permiten caracterizar los polinomios ortogonales como soluciones naturales de problemas diferenciales. En el quinto capítulo, se detalla el enfoque metodológico de la investigación. Se de ne el tipo de estudio, el diseño de investigación y los alcances del trabajo, con énfasis en la rigurosidad matemática y la aplicabilidad de los resultados obtenidos. También se describen las limitaciones del estudio, proporcionando un marco claro para la interpretación de los resultados y sugiriendo vías para investigaciones futuras. En el capítulo seis, se aborda la obtención de estos polinomios como soluciones a problemas de Sturm Liouville, vinculando dichas soluciones a un operador diferencial en el Espacio L2 de Hilbert. Este enfoque no solo garantiza que las soluciones obtenidas sean matemáticamente rigurosas, sino también aplicables en problemas físicos y matemáticos, especialmente en condiciones de frontera no estándar. Finalmente, en el capítulo antes mencionado, se demuestra la linealidad y simetría de los operadores diferenciales sobre los espacios de Hilbert generados por los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite, lo cual permite profundizar en la estructura algebraica de estos operadores y su impacto en las soluciones obtenidas. Este análisis es fundamental tanto en el desarrollo de la teoría de aproximación de funciones como en la resolución de problemas complejos en matemáticas aplicadas y física teórica.
- ItemSolución equivalente del problema de Dirichlet usando transformada de Legendre y funciones de Green, representada por la fórmula integral de Poisson(2021)Este artículo presenta la solución al problema de Dirichlet para un potencial dentro de una esfera unitaria utilizando dos técnicas de solución donde se recorren diferentes caminos para obtener una solución equivalente al problema a través de la integral de Poisson. Para lograr esta unificación de las técnicas mencionadas, se presentan las diferentes propiedades que justifican los procedimientos utilizados para su obtención.
- ItemAplicaciones de la transformada de Legendre y su relación con las funciones de Green en la resolución del problema de Dirichlet para un potencial con condiciones de frontera(2020-10)En este trabajo se presenta la solución del problema de Dirichlet-Laplace para una esfera unitaria para el potencial de calor, aplicando la transformada de Legendre y funciones de Green con la nalidad de obtener una representación equivalente de la solución, además se exhiben las propiedades de la cada una de estas técnicas. El problema de Dirichlet siempre tiene solución pero algunos métodos y tec«icas utilizadas para ello presentan limitaciones por las caracteristicas que presentan la frontera, obtener otras alternativas para su solución simpli can el trabajo. Aplicando la transformada de Legendre se obtuvieron dos representaciones equivalentes de la solución, utilizando las funciones de Green se obtuvo una representación equivalente con la transformada aplicando propiedades distintas y arti cios geométricos. Por las condiciones descritas del problema la transformada de Legendre resulta ser una herramienta más apropiada para obtener la solución.
- ItemProporción de Conmutatividad de Grupos no Conmutativos Finitos(2020)La presente investigación tiene el objetivo de analizar la proporción de conmuta- tividad de un grupo no conmutativo finito. Para lograrlo, se utiliza la tabla de Cay- ley como herramienta para identificar los elementos del grupo que conmutan entre sí, analizando los patrones de la tabla. Se establece una relación entre la proporción de conmutatividad R(G) en un grupo no conmutativo G y el número de clases de conju- gación k(G) de G. También se examina el caso donde G es un grupo no conmutativo con centro Z(G), demostrando que el grupo cociente G/Z(G) no puede ser cíclico. Se analiza la relación entre R(G) en un grupo no conmutativo G y R(H) en un subgrupo H de G. Este estudio se basa en una perspectiva descriptiva con un enfoque axiomático fundamentada en una investigación documental y bibliográfica. El mismos inicia con el análisis de diversas fuentes de información. Se emplea el método inductivo a partir de conclusiones particulares obtenidas para llegar a los resultados propuestos a través de los objetivos.En geneal, en esta investigación se muestra la proporción de conmuta- tividad de grupos no conmutativos finitos, proporcionando resultados y propiedades significativas para comprender la naturaleza de esta propiedad en los grupos finitos.