Obtención de los Polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como Vectores Propios de un Operador Diferencial en el Espacio L2 de Hilbert

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dc.contributor.authorEsteban Méndez Rodríguez
dc.date.accessioned2025-05-01T20:39:23Z
dc.date.available2025-05-01T20:39:23Z
dc.date.issued2025-02
dc.description.abstractEl presente trabajo se centra en el estudio de los polinomios ortogonales de Legendre, Laguerre y Her mite, obtenidos como vectores propios de un operador diferencial en el Espacio L2 de Hilbert. El objetivo principal de esta investigación es probar las propiedades generales y la funcionalidad de estos polinomios en la solución de ecuaciones diferenciales asociadas a problemas singulares de Sturm-Liouville. Además, se examina la linealidad y simetría de los operadores diferenciales que actúan sobre los espacios de Hilbert generados por estos polinomios. El capítulo uno, establece las bases de la investigación a través de una introducción detallada que incluye los ante cedentes, el planteamiento del problema, la justi cación y los objetivos del estudio. Se resalta la relevancia histórica y matemática de los polinomios ortogonales, con un enfoque en las familias de Legendre, Laguerre y Hermite, y su conexión con problemas diferenciales en el espacio L2 de Hilbert. Este capítulo también plantea la necesidad de una caracterización teórica más rigurosa que vincule estas funciones con operadores diferenciales, enmarcando los objetivos generales y especí cos de la investigación en un contexto académico y aplicado. En el segundo capítulo, se deducen las propiedades generales de los polinomios ortogonales, haciendo uso del proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt y la existencia de una función de peso que garantiza la unicidad y la norma cuadrática mínima de dichos polinomios. Estas propiedades son esenciales para comprender su compor tamiento en diferentes contextos matemáticos. En el tercer capítulo, se analizan las propiedades especí cas de los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite. Estos polinomios son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden, lo que los convierte en herramientas cruciales para resolver problemas singulares de Sturm-Liouville. Asimismo, se examina su obtención mediante la fórmula de Rodrigues, lo que permite una mejor comprensión de su construcción y aplicaciones. En el capítulo cuatro, se analiza los fundamentos teóricos de los espacios de Hilbert y su relación con la teoría de Sturm-Liouville. Incluye una de nición formal de los espacios L2, destacando sus propiedades fundamentales, como la completitud y la ortogonalidad. Además, se exploran las condiciones de contorno y el teorema de Sturm-Liouville, mostrando cómo estas herramientas permiten caracterizar los polinomios ortogonales como soluciones naturales de problemas diferenciales. En el quinto capítulo, se detalla el enfoque metodológico de la investigación. Se de ne el tipo de estudio, el diseño de investigación y los alcances del trabajo, con énfasis en la rigurosidad matemática y la aplicabilidad de los resultados obtenidos. También se describen las limitaciones del estudio, proporcionando un marco claro para la interpretación de los resultados y sugiriendo vías para investigaciones futuras. En el capítulo seis, se aborda la obtención de estos polinomios como soluciones a problemas de Sturm Liouville, vinculando dichas soluciones a un operador diferencial en el Espacio L2 de Hilbert. Este enfoque no solo garantiza que las soluciones obtenidas sean matemáticamente rigurosas, sino también aplicables en problemas físicos y matemáticos, especialmente en condiciones de frontera no estándar. Finalmente, en el capítulo antes mencionado, se demuestra la linealidad y simetría de los operadores diferenciales sobre los espacios de Hilbert generados por los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite, lo cual permite profundizar en la estructura algebraica de estos operadores y su impacto en las soluciones obtenidas. Este análisis es fundamental tanto en el desarrollo de la teoría de aproximación de funciones como en la resolución de problemas complejos en matemáticas aplicadas y física teórica.
dc.description.sponsorshipJuan Toribio Milane
dc.identifier.citationMéndez Rodríguez, E. (2025). Obtención de los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como vectores propios de un operador diferencial en el espacio L² de Hilbert [Tesis de postgrado, Universidad Autónoma de Santo Domingo].
dc.identifier.urihttps://repositoriovip.uasd.edu.do/handle/123456789/749
dc.language.isoes
dc.titleObtención de los Polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como Vectores Propios de un Operador Diferencial en el Espacio L2 de Hilbert
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