Obtención de los Polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como Vectores Propios de un Operador Diferencial en el Espacio L2 de Hilbert
Obtención de los Polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como Vectores Propios de un Operador Diferencial en el Espacio L2 de Hilbert
Date
2025-02
Authors
Esteban Méndez Rodríguez
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Abstract
El presente trabajo se centra en el estudio de los polinomios ortogonales de Legendre, Laguerre y Her
mite, obtenidos como vectores propios de un operador diferencial en el Espacio L2 de Hilbert. El
objetivo principal de esta investigación es probar las propiedades generales y la funcionalidad de estos polinomios
en la solución de ecuaciones diferenciales asociadas a problemas singulares de Sturm-Liouville. Además, se examina
la linealidad y simetría de los operadores diferenciales que actúan sobre los espacios de Hilbert generados por estos
polinomios.
El capítulo uno, establece las bases de la investigación a través de una introducción detallada que incluye los ante
cedentes, el planteamiento del problema, la justi cación y los objetivos del estudio. Se resalta la relevancia histórica
y matemática de los polinomios ortogonales, con un enfoque en las familias de Legendre, Laguerre y Hermite, y
su conexión con problemas diferenciales en el espacio L2 de Hilbert. Este capítulo también plantea la necesidad de
una caracterización teórica más rigurosa que vincule estas funciones con operadores diferenciales, enmarcando los
objetivos generales y especí cos de la investigación en un contexto académico y aplicado.
En el segundo capítulo, se deducen las propiedades generales de los polinomios ortogonales, haciendo uso
del proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt y la existencia de una función de peso que garantiza la unicidad
y la norma cuadrática mínima de dichos polinomios. Estas propiedades son esenciales para comprender su compor
tamiento en diferentes contextos matemáticos.
En el tercer capítulo, se analizan las propiedades especí cas de los polinomios de Legendre, Laguerre
y Hermite. Estos polinomios son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden, lo que los convierte en
herramientas cruciales para resolver problemas singulares de Sturm-Liouville. Asimismo, se examina su obtención
mediante la fórmula de Rodrigues, lo que permite una mejor comprensión de su construcción y aplicaciones.
En el capítulo cuatro, se analiza los fundamentos teóricos de los espacios de Hilbert y su relación con la teoría de
Sturm-Liouville. Incluye una de nición formal de los espacios L2, destacando sus propiedades fundamentales, como
la completitud y la ortogonalidad. Además, se exploran las condiciones de contorno y el teorema de Sturm-Liouville,
mostrando cómo estas herramientas permiten caracterizar los polinomios ortogonales como soluciones naturales de
problemas diferenciales.
En el quinto capítulo, se detalla el enfoque metodológico de la investigación. Se de ne el tipo de estudio, el diseño de
investigación y los alcances del trabajo, con énfasis en la rigurosidad matemática y la aplicabilidad de los resultados
obtenidos. También se describen las limitaciones del estudio, proporcionando un marco claro para la interpretación
de los resultados y sugiriendo vías para investigaciones futuras.
En el capítulo seis, se aborda la obtención de estos polinomios como soluciones a problemas de Sturm
Liouville, vinculando dichas soluciones a un operador diferencial en el Espacio L2 de Hilbert. Este
enfoque no solo garantiza que las soluciones obtenidas sean matemáticamente rigurosas, sino también aplicables en
problemas físicos y matemáticos, especialmente en condiciones de frontera no estándar.
Finalmente, en el capítulo antes mencionado, se demuestra la linealidad y simetría de los operadores
diferenciales sobre los espacios de Hilbert generados por los polinomios de Legendre, Laguerre y
Hermite, lo cual permite profundizar en la estructura algebraica de estos operadores y su impacto en las soluciones
obtenidas. Este análisis es fundamental tanto en el desarrollo de la teoría de aproximación de funciones como en la
resolución de problemas complejos en matemáticas aplicadas y física teórica.
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Keywords
Citation
Méndez Rodríguez, E. (2025). Obtención de los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como vectores propios de un operador diferencial en el espacio L² de Hilbert [Tesis de postgrado, Universidad Autónoma de Santo Domingo].